Panduan Lengkap Memahami Persamaan Lingkaran Kelas XI

<

Panduan Lengkap Memahami Persamaan Lingkaran SMA Kelas XI 

Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut titik pusat. 

A. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik berjarak yang sama (jari-jari) terhadap titik tertentu (pusat lingkaran). 

Untuk gambar lingkaran beserta definisinya seperti pada gambar di bawah ini.

B. Persamaan Lingkaran

Ada beberapa persamaan lingkaran yang perlu Anda pahami.
Kadang banyak siswa masih kesulitan dalam memahami perbedaan dari persamaan lingkaran, sehingga salah dalam memasukan rumus persamaan.

Oleh karena itu dalam pembahasan ini diberikan poin-poin tentang persamaan lingkaran.

Adapun persamaan lingkaran yang dimaksud adalah sebagaai berikut:

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r

Untuk memahami persamaan yang dimaksud pahami gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan gambar sebuah lingkaran dengan titik pusat di 0 (0, 0) dan berjari - jari (r) serta titik sebuah lingkaran di titik p (x, y).

Pada gambar di atas di dapat bahwa. 

Panjang 0P = panjang r, atau
OP = r

Sehingga :

Sehingga dari uraian di atas didapat bahwa: 
Persamaan lingkaran berpusat di 0 dan berjari-jari r adalah 

Contoh soal

Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari 5 adalah.

Jawab
diketahui r = 5

rumus persamaan hitung yang memiliki titik pusat  0 (0, 0) adalah:



Sehingga substitusikan nilai r ke persamaan tersebut.

Adapun sebuah titik   akan:

a. Terletak pada lingkaran, jika:

  

b. Terletak di dalam lingkaran, jika:

c. Terletak di luar lingkaran, jika:

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari - jari r

Gambar di bawah ini merupakan gambar lingkaran yang memiliki titik pusat P(a, b) dan berjari - jari r serta titik Q (x, y) merupakan titik sebuah lingkaran

Pada gambar di atas didapat:

OP = r



Sehingga : 

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari - jari r adalah:

Contoh Soal: (Pengembangan Soal Ebtanas 1986)

Persamaan lingkaran yang berpusat di (5, 3) dan memiliki jari-jari (r) = 7 adalah ....

Jawab

Diketahui:

Pusat lingkaran (5, 3) dan r = 7

Jadi nilai a = 5, b = 3, dan r = 7

Masukan/substitusikan persamaan lingkaran

Jadi, Persamaan lingkaran yang berpusat di (5, 3) dan memiliki jari-jari (r) = 7 adalah 

3. Persamaan Umum Lingkaran

Mari kita jabarkan bentuk persamaan 

 ...........diuraikan



 ...........Persamaan terakhir

Persamaan terakhir dapat pula dinyatakan sebagai berikut ini.




Sehingga diperoleh:









Jadi persamaan lingkaran dengan pusat  dan berjari-jari  adalah : 

Contoh soal: (pengembangan dari soal sipenmaru 1986)

Persamaan lingkaran berpusat di titik (3, 3) dan melalui titik (9, -5) adalah . . . .

Jawab

Pusat lingkaran (3, 3), sehingga nilai dari a = 3, dan b = 3

Pertama mencari nilai r ?

Bentuk persamaan :

 





karena lingkaran melalui titik (9, -5) maka titik tersebut terletak pada lingkaran. 
Sehingga :















Substitusikan nilai r kepersamaan 















Jadi, Persamaan lingkaran berpusat di titik (3, 3) dan melalui titik (9, -5) adalah 

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Ada 2 macam persamaan garis singgung lingkaran, yaitu : garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik pada lingkaran dan garis singgung dengan gradien yang telah diketahui.

Pembahasan mengenai kedua garis singgung tersebut adalah sebagai berikut.

Namun disarankan apabila Anda belum benar-benar memahami mengenai materi poin A dan poin B yaitu tentang pengertian dan persamaan lingkaran. Disarankan jangan membaca materi di bawah ini terlebih dahulu. Mohon dipahami terlebih dahulu materi di atas.

1). Garis Singgung Lingkaran Melalui Sebuah Titik Pada Lingkaran

a). Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik  pada lingkaran  adalah:

b). Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik  pada lingkaran   adalah:

c). Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik  pada lingkaran   adalah:

Contoh soal: (pengembangan soal proyek perintis 1981)


Persamaan garis singgung melalui titik (3, 2) pada lingkaran  adalah . . . .

Jawab

diketahui persamaan lingkaran 

diperoleh nilai: a = -2, b = 3, dan c =-7

pada titik (3, 2) maka:  dan 

selajutnya masukan atau substitusikan ke persamaan:

 atau 

Jadi, persamaan garis singgung melalui titik (3, 2) pada lingkaran  adalah 

2). Garis Singgung Dengan Gradien yang Diketahui

Ada 3 macam rumus mencari garis singging lingkaran jika gradiennya diketahui, yaitu :

a. Rumus persamaan garis singgung lingkaran jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran  adalah:

b. Rumus persamaan garis singgung lingkaran jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran    adalah:

Contoh soal: 

Persamaan garis singgung pada lingkaran   yang tegak lurus garis  adalah . . . .

Jawab

diketahu persamaan 

Sehingga nilai dari: A = -2, B = 4, C = -4

Jadi pusat lingkaran di (1, -2) dan r = 3 (pahami mencari pusat dan jari-jari pada materi di atas)

Misalkan garis , sehingga , dan misalkan h adalah garis singgung lingkaran.

karena g tegak lurus h, maka:

Persamaan garis singgung lingkaran

 (dikalikan 5)

12x + 5y = 2 + 39, atau 12x + 5y = 41, atau 12x + 5y -41 = 0

12x + 5y = 2 - 39, atau 12x + 5y = -37, atau 12x + 5y + 37 = 0

Jadi, Persamaan garis singgung pada lingkaran   yang tegak lurus garis  adalah 12x + 5y -41 = 0 dan 12x + 5y + 37 = 0

3). Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui sebuah titik di luar lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan gambar suatu titik  yang terletak diluar lingkaran.

Persamaan umumnya adalah:

Contoh

Soal EBTANAS 1997

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (0, 5) pada lingkaran  adalah ....

Jawab

Diketahui :

Titik (0, 5) 

Persamaan lingkarannya 

Ditanya? persamaan garis singgung

 substitusikan titik (0, 5)

karena persamaan di atas lebih besar maka terletak di luar lingkaran (baca pembahasan di atas mengenai letak titik)

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (0, 5) adalah :

y - 5 = m(x - 0)
y - 5 = mx
y = mx + 5 ..............Pers (1)

Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 








Didapat nilai:

a = 

b = 10 m

c = 5

Jika kalian masih bingung dari mana dapatnya nilai a, b, dan c silahkan baca terlebih dahulu : Materi Persamaan Kuadrat


Selanjutnya mencari nilai dari deskriminan (D)












Karena y= mx + 5 menyinggung lingkaran, maka nilai D = 0

D = 0







  atau 



Selanjutnya substitusikan nilai dari dan pada persamaan y = mx + 5


Jika   ,maka 

Jika  ,maka 

Jadi persamaan garis singgungnya adalah x + 2y = -10 dan x - 2y = -10

Sebelum melanjutkan kemateri selanjutnya
Kami akan memberikan pengalaman sedikit, bagaimana belajar persamaan lingkaran agar lebih mudah.
atau lebih dikenalnya kami berikan trik untuk mempermudah Anda dalam mempelajari materi persamaan lingkaran.


Berdasarkan pengalaman saya selama belajar dan mengajar berikut tips mempermudah kita dalam memahami konsep lingkaran

Tips pertama, adik-adik sekalian harus paham konsep operasi hitung yang merupakan materi prasyarat dalam memahami konsep lingkaran ini. seperti postingan yang lain bahwa pelajaran matematika materi yang satu berkaitan dengan materi yang lainnya.

Tips kedua, coba adik-adik sekalian pahami definisi-definisi yang ada pada lingkaran itu sendiri apa lingkaran itu dan bagian-bagiannya seperti jari-jari, diameter, juring, dll

Tips ketiga, apabila adik-adik masih merasa kesulitan dalam memahami konsep lingkaran ini coba adik-adik sekalian buka pelajaran matematika kelas VIII dimana lingkaran sudah dipelajari mulai dari SD dan SMP tetapi masih belum sekompleks SMA. 

D. Mencari Pusat dan Jari - Jari Lingkaran

Dalam pembahasan di atas telah disebutkan bahwa bentuk umum persamaan lingkaran, adalah :

Untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran dari bentuk umum persamaan di atas
Menggunakan rumus di bawah ini.

Untuk mencari pusat lingkaran menggunakan rumus

Pusat : 

Jari-Jari : 


Contoh Soal

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan 


Jawab

Diketahui:

Persamaan 

Didapat Nilai:

A = 4B = -6C = 4

Mencari pusat lingkaran.

Masukkan rumus pusat lingkaran, yaitu:







Jadi pusat lingkaran persamaan  adalah 


Sedangkan untuk mencari jari-jari masukkan rumus jari-jari (r), yaitu:














Jadi jari-jari (r) persamaan  adalah 


Contoh soal pendalaman 

Soal UMPTN 1994

Pusat lingkaran   adalah ....

Jawab

Seperti pada pembahasan di atas bahwa rumus mencari pusat lingkaran adalah:



Selanjutnya persamaan  dirubah dulu kedalam bentuk 



Sehingga persamaan  dibagi 3

Menghasilkan 

Jadi di dapat nilai 
A = -4/3
B = 2

Substitusikan nilai A dan B ke dalam rumus pusat lingkaran 





 atau 

Jadi titik pusatnya adalah 

Tweet

Subscribe to receive free email updates: