Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Satu dan Dua Variabel

<

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Satu dan Dua Variabel

A. Persamaan Linier

Secara umum persamaan linier terdiri dari satu variabel dan dua variabel

1. Persamaan Linier Satu Variabel

Sistem Persamaan Linier Satu Variabel adalah kalimat terbuka yang hanya memiliki satu variabel dan menyatakan hubungan yang sama. Secara umum bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:

Contoh

Tentukan nilai x dari persamaan 2x + 4 = 6

Jawab

2x + 4 = 6

2x = 6

2x = 6 - 4

2x = 2

x = 2/2

x = 1

2. Persamaan Linier Dua Variabel

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel dengan masing-masing pangkat variabel sama dengan satu. Secara umum bentuk persamaannya adalah:

B. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah sistem persamaan yang memiliki paling sedikit sepasang persamaan linier dua variabel dan hanya memiliki satu penyelesaian. Bentuk umum persamaannya adalah:

Dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) dapat diselesaikan dengan berbagai macam metode, yaitu :

A. Metode Grafik Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Metode grafik yaitu cara penyelesaian SPLDV dengan cara menentukan titik potong dari gambar grafik kedua persamaan tersebut.


Diketahui persamaan linier 2x + y = 5 dan x + 3y = 5, tentukan himpunan penyelesaiannya?

Jawab

diketahui:

2x + y = 5 ...... pers (1)

x + 3y = 5 ...... pers (2)

Garis persamaan garis 2x + y = 5
titik potong sumbu x, maka y = 0

2x + y = 5
2x + 0 = 5
2x = 5
x = 5/2
x = 2,5

Jadi titik potongnya (5/2, 0)


Garis persamaan garis 2x + y = 5

titik potong sumbu y, maka x = 0

2x + y = 5 
2 (0) + y = 5
y = 5

Jadi titik potongnya (0, 5)


Garis persamaan garis x + 3y = 5

titik potong sumbu x, maka y = 0

x + 3y = 5
x + 3(0) = 5
x = 5
Jadi titik potongnya (5, 0)


Garis persamaan garis x + 3y = 5 

titik potong sumbu y, maka x = 0 

x + 3y = 5 
0 + 3y = 5
3y = 5
y = 5/3

Jadi titik potongnya (0, 5/3)


Selanjutnya gambarlah grafik kartesius

Gambar grafiknya seperti di bawah ini.

Contoh 

jika x dan y memenuhi persamaan 2x + y = 8 dan 3x + 2y = 11, tentukan himpunan penyelesaiannya?

Jawab

Grafik persamaan garis 2x + y = 8

Titik potong sumbu x, maka y = 0

2x + y = 8

2x + 0 = 8

2x = 8

x = 4

Jadi, titik potongnya (4, 0)

Lanjutkan untuk x = 0
..............................

Grafik persamaan garis 3x + 2y = 11

Titik potong sumbu x, maka y = 0

3x + 2y = 11

3x + 2(0) = 11

3x + 0 = 11

3x = 11

x = 11/3

Jadi, titik potongnya (11/3, 0)

Lanjutkan untuk x = 0
..........................

Selanjutnya gambar grafiknya menggunakan diagram kartesius.

Dari kedua garis tersebut tentukan titik potongnya.

Titik potong kedua garis tersebut adalah himpunan penyelesaiannya.

B. Metode Substitusi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Metode substitusi adalah metode yang digunakan dalam menyelesaikan SPLDV dengan cara mengganti satu satu variabel dengan variabel satunya atau lainnya.

Contoh:
Diketahui persamaan linier 2x + y = 5 dan x + 3y = 5, tentukan himpunan penyelesaiannya?

Jawab

diketahui:

2x + y = 5 ...... pers (1)
x + 3y = 5 ...... pers (2)

Uraikan persamaan (1)

2x + y = 5
y = 5 -2x    ..... pers (3)

Substitusikan pers (3) ke pers (2)

x + 3y = 5
x + 3(5 - 2x) = 5
x + 15 - 6x = 5
(x - 6x) + 15 = 5
- 5x = 5 - 15
- 5x = -10
x = -10/-5
x = 2

Substitusikan nilai x ke pers (1)

2x + y = 5 
2(2) + y = 5
4 + y = 5
y = 5 - 4
y = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (2 , 1)

C. Metode Eliminasi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Metode eliminasi merupakan menghilangkan atau mengeliminasi salah satu variabel.

Contoh:
Diketahui persamaan linier 2x + y = 5 dan x + 3y = 5, tentukan himpunan penyelesaiannya?

Jawab

diketahui:

2x + y = 5 ...... pers (1)

x + 3y = 5 ...... pers (2)

Eliminasi pers (1) dan pers (2) untuk menghilangkan x

2x + y = 5   x 1
x + 3y = 5   x 2

2x + y = 5
2x + 6y = 10
---------------- = -
-5y = -5
y = 1

Eliminasi pers (1) dan pers (2) untuk menghilangkan y

2x + y = 5   x 3

x + 3y = 5   x 1

6x + 3y = 15
x + 3y = 5
--------------- = -
5x = 10
x = 2

Jadi HP (2 , 1)

D. Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi) Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Contoh:

Diketahui persamaan linier 2x + y = 5 dan x + 3y = 5, tentukan himpunan penyelesaiannya?

Jawab

diketahui:

2x + y = 5 ...... pers (1)

x + 3y = 5 ...... pers (2)

Eliminasi pers (1) dan pers (2) untuk menghilangkan x

2x + y = 5   x 1
x + 3y = 5   x 2

2x + y = 5
2x + 6y = 10
---------------- = -
-5y = -5

y = 1

Substitusi nilai y ke pers (1) 
2x + y = 5
2x + 1 = 5
2x = 5 - 1
2x = 4
x  =  4/2
x = 2

Jadi HP (2 , 1)

Dari contoh di atas dengan menggunaan metode substitusi dan metode eliminasi, serta metode campuran (eliminasi dan substitudi) himpunannya tetap sama.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: