Materi Lengkap Beserta Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Pada kesempatan ini saya akan membagikan sedikit ilmu yang saya punya yang berkaitan dengan matematika yaitu pokok bahasan persamaankuadrat.

Sebenarnya pokok pelajaran persamaan kuadrat kita mengenalnya dari SD dan SMP meskipun belum sekompleks materi SMA.

A) Konsep Akar Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat:

$ax^{2}+bx+c=0; a\neq 0$

Nilai determinan persamaan kuadrat :

$D=b^{2}-4ac$

B) Rumus Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat atau harga-harga real yang memenuhi bentuk persamaan dapat diketahui dengan tiga cara atau rumus.

1). Memfaktorkan / Faktorisasi

Bentuk $ax^{2}+bx+c=0$ diubah menjadi bentuk   $\frac{1}{2}(ax+p)(ax+q)=0$ dengan $p+q=b$ dan   $p.q=ac$

Contoh Soal

$a). x^{2}-x-12=0$

Diketahui : a=1;b=-1;dan c=-12

Ditanya? Tentukan Akar-Akar persamaan.

Jawab

Tentukan faktor dari c, dalam kasus ini nilai c=-12
Kita tahu bahwa faktor dari 12, yaitu:
12 dan 1
6 dan 2
3 dan 4

Namun dalam kasus ini kita cari faktor yang apabila dikalikan hasilnya -12 dan ditambahkan hasilnya -1

Didapat faktor dari 12= 4 dan 3
Selanjutnya dibuat seperti di bawah ini.

     $(x-4)(x+3)=0$
    $(x-4=0) \vee (x+3=0)$
   $x=4 \vee x=-3$

Jadi HP $\left \{ 4,-3 \right \}$

2). Melengkapi kuadrat sempurna

Contoh Soal

$x^{2}+4x-2=0$

Jawab

$x^{2}+4x-2=0$

$x^{2}+4x=2$ ;

$x^{2}+4x+4=2+4$ ; ruas kanan dan kiri sama-sama ditambah 4
                                 (ditambah 4 supaya ruas kiri bisa difaktorkan)
$(x+2)^{2}=6$
$(x+2)=\pm \sqrt{6}$
$(x_{1}=-2+\sqrt{6})\vee (x_{2}=-2-\sqrt{6})$

Jadi HP :   $\left \{ -2+\sqrt{6} ,-2-\sqrt{6}\right \}$

3). Menggunakan rumus abc

Rumus abc , yaitu :

$x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Dengan
$D=b^{2}-4ac=0$

Contoh

Tentukan akar dari $2x^{2}+3x-1=0$

Jawab

Diketahui : a = 2; b=3, c=-1

Ditanya ? Himpunan penyelesaian/akar

Masukan rumus abc

$x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Masukkan atau substitusikan nila a, b, dan c ke dalam rumus abc
Seperti di bawah ini.

$x_{1.2}=\frac{-3\pm \sqrt{3^{2}-4.2(-1)}}{2.2}$

$x_{1.2}=\frac{-3\pm \sqrt{9+8}}{4}$

$x_{1.2}=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{4}$

$x_{1}=\frac{-3+ \sqrt{17}}{4}$

$x_{2}=\frac{-3- \sqrt{17}}{4}$

Jadi HP : $\left \{ -3+\sqrt{17},-3-\sqrt{17} \right \}$

B. Konsep Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ akar-akar persamaan $ax^{2}+bx+c=0; a\neq 0$ dengan $D> 0$
Maka: $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ dan $x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$

Didapat:
1). Jumlah akar-akar persamaan kuadrat : $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$

2). Selisih akar-akar persamaan kuadrat : $x_{1}-x_{2}=\left | \frac{\sqrt{D}}{a} \right |, x_{1}> x_{2}$

3). Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat : $x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$

4). Jumlah kuadrat : $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2(x_{1}.x_{2})$

5). Jumlah pangkat tiga : $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{3}-3(x_{1}.x_{2})(x_{1}+x_{2})$

6). Selisih kuadrat : $\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2} +4x_{1}.x_{2}$

7). Jumlah kebalikan : $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}.x_{2}}$

Catatan:
Jika koefisien a dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ , bernilai 1
Maka :

1). $x_{1}+x_{2}=-b$
2). $x_{1}-x_{2}=\sqrt{D}$
3). $x_{1}.x_{2}=c$

Contoh
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ akar persamaan kuadrat $x^{2}+3x-7=0$
Tentukan nilai dari: $x{_{1}}^{3}+x{_{2}}^{3}$

Jawaban

Diket: $x^{2}+3x-7=0$

Maka didapat: a=1; b=3; c=-7

Ditanya?Nilai dari $x{_{1}}^{3}+x{_{2}}^{3}$

Jawab

Jumlah pangkat tiga : $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{3}-3(x_{1}.x_{2})(x_{1}+x_{2})$

Maka dari itu kita harus tahu terlebih dahulu berapa nilai dari $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ dan $x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$

didapat
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$

$x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-7}{1}=-7$

Selanjutnya kita masukkan atau substitusikan ke dalam bentuk jumlah pangkat tiga

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{3}-3(x_{1}.x_{2})(x_{1}+x_{2})$

$x{_{1}}^{3}+x{_{2}}^{3}=(-3)^{3}-3(-7)(-3)$

$x{_{1}}^{3}+x{_{2}}^{3}=-27-24=-69$

Jadi nilai dari: $x{_{1}}^{3}+x{_{2}}^{3}=-69$

C. Konsep Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan : $ax^{2}+bx+c=0$ ; dengan $x_{1.2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Nilai $D=b^{2}-4.a.c$ , digunakan sebagai deskriminan (pembeda).
Besarnya nilai D berpengaruh terhadap sifat-sifat akar. Kemungkinan yaitu :

1). Bila $D> 0$ ; maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda
2). Bila $D= 0$ , maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional
3). Bila $D< 0$ , maka tidak memiliki akar (imajiner)

D. Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat dapat dibentuk jika diketahui kedua akarnya atau informasi tentang kedua akarnya diketahui.

Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ , maka persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ , dimana $\alpha =f(x_{1})$ dan $\beta =f(x_{2})$ dapat dicari dengan menggunakan rumus: $x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha .\beta =0$

Catatan:
Saat menggunakan rumus di atas kita harus paham terlebih dahulu bahwa:

1). $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
2). $x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$

Jika terdapat hubungan beraturan antara akar yang lama dengan akar yang baru, maka menggunakan metode invers, yaitu $\alpha$ dan $\beta$ simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah

$a\left ( \beta ^{-1} \right )^{2}+b\left ( \beta ^{-1} \right )+c=0$ , dengan $\beta ^{-1}$ invers dari $\beta$

Catatan:
Saat menggunakan metode invers kita harus mengerti dulu bahwa

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Menyusun persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan memasukan ke dalam bentuk persamaan kuadrat baru, yaitu bisa menggunakan :

(1). Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$

$(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ Atau $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0$

Contoh

Jika 2 dan 3 akar-akar suatu persamaan kuadrat. Tentukan persamaan kuadratnya?

Jawaban

Diketahui
$x_{1}=2$ dan $x_{2}=3$

Ditanya? Persamaan kuadrat baru

Jawab
Masukkan atau substitusikan nilai dari $x_{1};dan,x_{2}$ kedalam bentuk persamaan
$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0$

Jadi didapatkan:

$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0$

$x^{2}-(2+3)x+2.3=0$

$x^{2}-5x+6=0$

Sehingga persamaan kuadrat yang diperoleh adalah: $x^{2}-5x+6=0$

(2). Jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya.

Contoh

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan   $2x^{2}-3x+1=0$
Jawab
$2x^{2}-3x+1=0$

Didapat nilai : a=2; b=-3; dan c=1
dari mana nilai a,b, dan c. nilai itu kita dapatkan dari bentuk umum persamaan kuadrat
(kalau dirasa masih bingung baca materi di atas terlebih dahulu).

Sehingga
$x_{1}+x_{2}=\frac{3}{2}$ dan $x_{1}.x_{2}=\frac{1}{2}$

Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya $\alpha$   dan $\beta$

Karena dalam pertanyaan dua kali akar-akar persamaan
Maka:

$\alpha =2x_{1}$ dan $\beta =2x_{2}$

Jadi :

$\alpha +\beta =2x_{1}+2x_{2}=2(x_{1}+x_{2})=2(\frac{3}{2})=3$
$\alpha .\beta =2x_{1}.2x_{2}=4.x_{1}.x_{2}=4(\frac{1}{2})=2$

Selanjutnya kita masukan atau substitusikan nilai $\alpha +\beta$   dan $\alpha .\beta$   kebentuk persamaan baru, yaitu:

$x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha .\beta =0$

$x^{2}-3x+2=0$

Jadi didapatkan persamaan kuadrat baru yang akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat   $2x^{2}-3x+1=0$ adalah $x^{2}-3x+2=0$

Itulah materi mengenai persamaan kuadrat yang kami sajikan sedemikian ringkas.

Sebelum berlatih mengerjakan soal-soal persamaan kuadrat di bawah

berikut kami berikan pengalaman sedikit tentang tips belajar persamaan kuadrat.

Berdasarkan pengalaman saya dari mengajar dan belajar ada beberapa tips supaya kita dengan mudah belajar persamaan kuadrat diantaranya:

1. Kita harus memahami materi pokok perhitungan baik bilangan bulat, pecahan, perpangkatan, bentuk akar dan lainnya, inilah syarat mutlak yang harus kita pahami sebelum belajar persamaan kuadrat. banyak sekali yang menganggap bahwa matematika itu pelajaran yang sulit dipahami padahal itu tidak, itu hanya pandangan yang keliru dan sebagian besar mereka tidak memahami tentang matematika itu sendiri, mereka hanya korban pemikiran turun temurun . Pada postingan yang lain dalam laman Magistermatematika.com telah saya jelaskan bahwa materi matematika itu saling berkaitan satu sama lain.

2. Tips yang kedua kita harus memahami konsep persamaan kuadrat, ingat memahami bukan menghafalnya. untuk memahami konsep suatu materi matematika khususnya persamaan kuadrat banyak sekali caranya sesuai dengan hati masing-masing tetapi disini berdasarkan pengalaman saya bahwa agar kita mudah memahami konsep persamaan kuadrat kita harus banyak-banyak latihan mengerjakan materi persamaan kuadrat. "coba renungkan seberapa banyak setiap hari kita latihan soal" Hheeeee.

3. Langkah ketiga adalah kita harus menggunakan rumus 12 A, yaitu action, action, action, action, action, action, action, action, action, action, action, dan action, merenung tanpa tindakan akan sia-sia.

Itulah tips agar kita mudah memahami materi persamaan kuadrat yang bisa saya bagikan, semoga artikel ini bermanfaat. Amin

Jika adik-adik masih sulit dalam menerapkan 3 tips di atas saya sarankan untuk membaca laman : Latihan mental bagaimana jago matematika

Jika menurut adik-adik postingan ini bermanfaat mohon kiranya untuk membagikan ke publik, agar manfaatnya dapat dirasakan oleh banyak orang. Terima kasih,Wassalam

Semangat Anak Muda, Anak Muda Harapan Indonesia !!!

Materi Lengkap Beserta Contoh Soal Persamaan Kuadrat