5 Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Menyelesaikan persamaan linier tiga variabel dapat dilakukan diantaranya dengan menggunakan 5 metode di bawah ini.

Metode yang dimaksud adalah:

1. Metode Substitusi

2. Metode Eliminasi

3. Metode Campuran (Eliminasi & Substitusi)

4. Metode Cramer

5. Metode Determinan

Untuk bentuk umum persamaan linier tiga variabel adalah sebagai berikut:

$bentuk umum :\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z= d_{1};persamaan.........(1)\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z= d_{2};persamaan.........(2)\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z= d_{3};persamaan.........(3) \end{matrix}\right.$

Contoh Persamaan Linier Tiga Variabel

Contoh berikut merupakan soal cerita yang berkaitan dengan sistem persamaan linier tiga variabel yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari.

Dalam suatu hari Dewi, Anggun, dan Melinda pergi belanja bersama-sama di toko yang sama. Dewi membeli 2 kotak kurma, satu kue bingka, dan satu es buah dengan harga Rp. 125.000,00. Sedangkan Anggun membeli sebuah kotak kurma, 2 kue bingka,dan satu es buah membayar Rp.120.000,00. Untuk Melinda membeli 3 kotak kurma, 2 kue bingka, dan satu es buah menghabiskan uang Rp.200.000. Dari permasalahan ini berapakah harga sebuah kotak kurma, kue bingka, dan sebuah es buah.

Jawab

Misalkan:

x : Kotak Kurma

y : Kue Bingka

z : Es Buah

Diketahui:

Dewi : 2x + y + z = 125.000,00 .................Pers 1

Anggun : x + 2y + z = 120.000,00 .................Pers 2

Melinda : 3x + 2y + z = 200.000,00 ...............Pers 3

Menyelesaikan permasalahan di atas Kalian dapat mengikuti langkah-langkah yang admin bagikan berikut ini.

Ikuti setiap langkah demi langkahnya.

Dalam ke-5 metode mungkin ada kelebihan dan kekurangannya masing-masing sesuai dengan mana yang Kalian sukai. Tetapi, ke-5 metode tersebut jika digunakan maka nilainya akan sama.

1). Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

Eliminasi pers (1) dan pers (2)

2x + y + z= 125.000,00

x + 2y + z= 120.000,00 -

x - y = 5.000,00 ..................... Pers 4

Eliminasi pers (3) dan pers (1)

3x + 2y + z = 200.000,00

2x + y + z = 125.000,00 -

x + y = 75.000,00

Eliminasi pers (4) dan pers (5)

x - y = 5.000,00

x + y = 75.000,00 +

2x = 80.000,00

x = 80.000,00

x = 40.000,00

Substitusikan nilai x ke pers (4)

x - y = 5.000,00

40.000,00 - y = 5.000,00

-y = 5.000,00 - 40.000,00

-y = -35.000,00

y = 35.000,00

Substitusikan nilai x dan y ke pers (1)

2x + y + z = 125.000,00

2(40.000,00) + 35.000,00 + z = 125.000,00

80.000,00 + 35.000,00 + z = 125.000,00

115.000,00 + z = 125.000,00

z = 125.000,00 - 115.000,00

z = 10.000,00

Jadi harga

kotak kurma : 40.000,00

kue bingka : 35.000,00

es buah : 10.000,00

2) Metode Eliminasi

Dalam menyelesaikan persamaan linier tiga variabel dengan menggunakan metode eliminasi lebih mudahnya ikutilah petunjuk berikut ini.

Eliminasi pers (1) ke persamaan (2) atau ke persamaan (3) untuk menghasilkan persamaan (4)
Eliminasi persamaan (2) ke persamaan (3) atau ke persamaan (1) untuk menghasilkan persamaan (5)
Eliminasi persamaan (4) ke persamaan (5) untuk menghasilkan nilai a atau nilai b
Hasil eliminasi persamaan (4) ke persamaan (5) disubstitusikan untuk menghasilkan nilai a atau nilai b.

Contoh

Eliminasi pers (1) dan pers (2)

2x + y + z = 125.000,00

x + 2y + z = 120.000,00 -

x - y = 5.000,00 ....................... pers (4)

Eliminasi pers (3) dan pers (1)

3x + 2y + z = 200.000,00

2x + y + z = 125.000,00 -

x + y = 75.000,00 ....................pers (5)

Eliminasi pers (4) dan pers (5)

x - y = 5.000.00

x + y = 75.000,00 +

2x = 80.000,00

x = 80.000,00

x = 40.000,00

Eliminasi pers (1) dan pers (2)

2x + y + z = 125.000,00 $\mid$ x 2

x + 2y + z = 120.000,00 $\mid$ x 1

4x + 2y + 2z = 250.000,00

x + 2y + z = 120.000,00 -

3x + z = 130.000,00 .................pers (6)

Eliminasi pers (3) dan pers (1)

3x + 2y + z = 200.000,00 $\mid$ x 1

2x + y + z = 125.000,00 $\mid$ x 2

3x + 2y + z = 200.000,00

4x + 2y + 2z = 250.000,00 -

-x -z = -50.000,00 ......................pers (7)

Eliminasi pers (6) dan pers (7)

3x + z = 130.000,00 $\mid$ x 1

- x - z = - 150.000 $\mid$ x 3

3x + z = 130.000,00

-3x - 3z = - 150.000,00 +

-2z = -20.000,00

z = -20.000,00

-2

z = 10.000,00

Selanjutnya mencari nilai y menggunakan metode eliminasi

Eliminasi pers (1) dan pers (2)

2x + y + z = 125.000,00 $\mid$ x 1

x + 2y + z = 120.000,00 $\mid$ x 2

2x + y + z = 125.000,00

2x + 4y + 2z = 240.000,00 -

-3y -z = -115.000,00 ...................pers (8)

Eliminasi pers (3) dan pers (1)

3x + 2y + z = 200.000,00 $\mid$ x 2

2x + y + z = 125.000,00 $\mid$ x 3

6x + 4y + 2z = 400.000,00

6x + 3y + 3z = 375.000,00 -

y - z = 25.000,00 ......................pers (9)

Eliminasi pers (8) dan pers (9)

-3y - z = -115.000,00

y - z = 25.000,00 -

-4y = -140.000,00

y = -140.000,00

-4

y = 35.000,00

3) Metode Substitusi Untuk Menyelesaikan Persamaan Linier Tiga Variabel

Uraikan nilai dari

2x + y + z = 125.000,00

z = 125.000,00 - 2x - y .....................pers (4)

Substitusikan nilai z ke pers (2)

x + 2y + z = 120.000,00

x + 2y + (125.000,00 -2x -y) = 120.000,00

-x + y + 125.000,00 = 120.000,00

-x + y = 120.000,00 - 125.000,00

-x + y = -5.000,00 .......................pers (5)

Substitusikan nilai z ke pers (3)

3x + 2y + z = 200.000,00

3x +2y + (125.000,00 -2x - y) = 200.000,00

x + y + 125.000,00 = 200.000,00

x + y = 200.000,00 - 125.000,00

x + y = 75.000,00

x = 75.000,00 - y ......................pers (6)

Substitusikan pers (6) ke pers (5)

-x + y = -5.000,00

- (75.000,00 -y) +y = -5.000,00

-75.000,00 + y + y = -5.000,00

-75.000,00 +2y = -5.000,00

2y = -5.000,00 + 75.000,00

2y = 70.000,00

y = 70.000,00

y = 35.000,00

Substitusi untuk mencari nilai x

Substitusikan nilai y ke pers (10)

-x + y = -5.000,00

-x + 35.000,00 = -5.000,00

-x = -5.000,00 - 35.000,00

-x = -40.000,00

x = 40.000,00

Substitusikan nilai x dan y ke pers (1)

2x + y + z = 125.000,00

2 (40.000,00) + 35.000,00 + z = 125.000,00

80.000,00 + 35.000,00 + z = 125.000,00

115.000,00 + z = 125.000,00

z = 125.000,00 - 115.000,00

z = 10.000,00

Jadi Himpunan Penyelesaiannya:

x = 40.000,00

y = 35.000,00

z = 10.000,00

4) Aturan Cramer

$A:\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & =&125.000,00 \\ 1& 2& 1 & =& 120.000,00\\ 3& 2& 1 & =& 200.000,00 \end{vmatrix}$

Mencari nilai dari :

$det \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1& 2& 1\\ 3& 2& 1 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 2& 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 3& 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 3& 2 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=2\left | 2-2 \right |-1\left | 1-3 \right |+1\left | 2-6 \right |$

$det \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=2\left | 0 \right |-1\left | -2 \right |+1\left | -4 \right |$

$det \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0 + 2 - 4$

$det \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=-2$

Mencari nilai dari :

$det \begin{vmatrix} X \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 125.000,00 & 1 & 1\\ 120.000,00& 2& 1\\ 200.000,00& 2& 1 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} X \end{vmatrix}=125.000,00\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 2& 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 120.000,00 &1 \\ 200.000,00& 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 120.000,00 & 2\\ 200.000,00& 2 \end{vmatrix}$

= 125.000,00 [2-2] - 1[120.000,00 - 200.000,00] + 1 [240.000,00 - 400.000,00]

= 125.000,00 [0] - 1[-80.000,00] + 1 [-160.000,00]

= 0 + 80.000,00 - 160.000,00

= - 80.000,00

$det \begin{vmatrix} X \end{vmatrix}=-80.000,00$

Mencari nilai dari :

$det \begin{vmatrix} Y \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 &125.000,00 & 1\\ 1& 120.000,00& 1\\ 3& 200.000,00& 1 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} Y \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 120.000,00 &1 \\ 200.000,00& 1 \end{vmatrix}-125.000,00\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 3& 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & 120.000,00\\ 3& 200.000,00 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} Y \end{vmatrix}=2\left | 120.000,00-200.000,00\right |-125.000,00\left | 1-3 \right |+1\left |200.000,00-360.000,00\right |$

$det \begin{vmatrix} Y \end{vmatrix}=2\left | -80.000,00\right |-125.000,00\left | -2 \right |+1\left |-160.000,00\right |$

$det \begin{vmatrix} Y \end{vmatrix}=-160.000,00 + 250.000,00-160.000,00$

$det \begin{vmatrix} Y \end{vmatrix}=-70.000,00$

Mencari nilai dari:

$det \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 125.000,00\\ 1& 2& 120.000,00\\ 3& 2& 200.000,00 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 2 & 120.000,00\\ 2& 200.000,00 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 2 & 120.000,00\\ 2& 200.000,00 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 120.000,00\\ 3& 200.000,00 \end{vmatrix}+125.000,00\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 3& 2 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 400.000-240.000 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 200.000-360.000 \end{vmatrix}+125.000\begin{vmatrix} 2-6 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 160.000 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} -160.000 \end{vmatrix}+125.000\begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix}$

$det \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}=320.000,00+160.000,00-500.000,00$

$det \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}=-20.000,00$

Jadi nilai

$X=\frac{det\left | X\right |}{det\left | A \right |}=\frac{-80.000,00}{-2}=40.000,00$

$Y=\frac{det\left | Y\right |}{det\left | A \right |}=\frac{-70.000,00}{-2}=35.000,00$

$Z=\frac{det\left | Z\right |}{det\left | A \right |}=\frac{-20.000,00}{-2}=10.000,00$

5) Metode Determinan

$D = \begin{vmatrix} a_{1} &b_{1} & c_{1}\\ a_{2}& b_{2} &c_{2} \\ a_{3}& b_{3}& c_{3} \end{vmatrix}$

$D = \begin{vmatrix} a_{1} &b_{1} & c_{1}\\ a_{2}& b_{2} &c_{2} \\ a_{3}& b_{3}& c_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{1} &b_{1} & c_{1}\\ a_{2}& b_{2} &c_{2} \\ a_{3}& b_{3}& c_{3} \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & \\ a_{2} & b_{2}& \\ a_{3}& b_{3} & \end{matrix}\right|$

$D = (a_{1}b_{2}c_{3}+b_{1}c_{2}a_{3}+c_{1}a_{2}b_{3})-(a_{3}b_{2}c_{1}+b_{3}c_{2}a_{1}+c_{3}a_{2}b_{1})$

$D_{x}=\begin{vmatrix} d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} &c_{2} \\ d_{3}& b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$

$x = \frac{D_{x}}{D}$

$D_{y}=\begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} &c_{2} \\ a_{3}& d_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$

$y= \frac{D_{y}}{D}$

$D_{z}=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} &d_{2} \\ a_{3}& b_{3} & d_{3} \end{vmatrix}$

$z= \frac{D_{z}}{D}$

Contoh:

Misalkan nama matrik A

$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 & 1 &1 \\ 1& 2& 1\\ 3& 2& 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 125.000,00\\ 120.000,00\\ 200.000,00 \end{vmatrix}$

$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1& 2 & 1\\ 1& 2& 1&1 &2 \\ 3& 2& 1& 3& 2 \end{vmatrix}$

$\left | A \right |=\left ( (2.2.1)+(1.1.3)+(1.1.2)-(3.2.1) -(2.1.2)-(1.1.1)\right )$

$\left | A \right |=\left ( 4+3+2-6-4-1\right )$

$\left | A \right |=\left ( -2\right )$

Sehingga untuk x, y , dan z yaitu:

Mencari nilai dari:

$\left | X \right |=\begin{vmatrix} 125.000,00 & 1 & 1 & 125.000,00 &1 \\ 120.000,00& 2 & 1 & 120.000,00& 2\\ 200.000,00& 2 & 1 & 200.000,00& 2 \end{vmatrix}$

$\left | X \right |=\left ( (125.000.2.1)+(1.1.200.000)+ (1.120.000.2)-(200.000.2.1)-(2.1.125.000)-(1.120.000.1)\right )$

$\left | X \right |=\left ( (250.000)+(200.000)+ (240.000)-(400.000)-(250.000)-(120.000)\right )$

$\left | X \right |=\left ( 690.000-770.000\right )$

$\left | X \right |=\left ( -80.000\right )$

Mencari nilai dari:

$\left | Y \right |=\begin{vmatrix} 2 &125.000 &1 & 2 &125.000 \\ 1& 120.000& 1& 1 & 120.000\\ 3& 200.000& 1 & 3& 200.000 \end{vmatrix}$

$\left | Y \right |=\begin{pmatrix} (2.120.000.1)+(125.000.1.3)+(1.1.200.000)-(3.120.000.1)-(200.000.1.2)-(1.1.125.000) \end{pmatrix}$

$\left | Y \right |=\begin{pmatrix} (240.000)+(375.000)+(200.000)-(360.000)-(400.000)-(125.000) \end{pmatrix}$

$\left | Y \right |=\begin{pmatrix} (815.000)-(885.000) \end{pmatrix}$

$\left | Y \right |=\begin{pmatrix} -70.000 \end{pmatrix}$

Mencari nilai dari:

$\left | Z \right |=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 125.000 & 2 &1 \\ 1 & 2& 120.000& 1& 2\\ 3& 2& 200.000& 3& 2 \end{vmatrix}$

$\left | Z \right |=\begin{pmatrix} (2.2.200.000)+(1.120.000.3)+(125.000.1.2)-(3.2.125.000)-(2.120.000.2)-(200.000.1.1) \end{pmatrix}$

$\left | Z \right |=\begin{pmatrix} (800.000)+(360.000)+(250.000)-(750.000)-(480.000)-(200.000) \end{pmatrix}$

$\left | Z \right |=\begin{pmatrix} 1.410.000-1.430.000 \end{pmatrix}$

$\left | Z \right |=\begin{pmatrix} 20.000 \end{pmatrix}$

Jadi :

$X=\frac{\left | X \right |}{\left | A \right |}=\frac{-80.000}{-2}=40.000$

$Y=\frac{\left | Y \right |}{\left | A \right |}=\frac{-70.000}{-2}=35.000$

$Z=\frac{\left | Z \right |}{\left | A \right |}=\frac{-20.000}{-2}=10.000$

Materi Sistem Persamaan Linier sangat mudah dipahami asalkan adik-adik mampu memahami konsep persamaan linier itu sendiri, konsep itu sendiri akan terbangun kalau kita mau banyak latihan mengerjakan soal-soal sistem persamaan linier.

5 Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel