Materi Peluang Matematika SMA Lengkap Beserta Soal dan Penyelesaian

<

Materi Peluang Matematika SMA Lengkap Beserta Soal dan Penyelesaian

Sebenarnya materi peluang sudah kita pelajari pada waktu SMP tetapi materinya tidak sekompleks materi SMA. Materi peluang ini kita pelajari saat menginjak semester pertama kelas 11.

A. Kaidah Perkalian

Kaidah perkalian sering disebut dengan aturan perkalian merupakan suatu kejadian terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat   cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam  cara yang berbeda, maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah 

Contoh

Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Di antara bilangan-bilangan itu yang kurang dari 400 sebanyak ....

Penyelesaian:

Angka ratusan : Hanya dappat diisi oleh angka 3 (karena 5,6,7,dan 9 apabila diisikan akan lebih dari 400

Angka puluhan : kelima angka (3,5,6,7,9) semuanya dapat mengisi angka puluhan, tetapi karena dalam soal terdapat angka yang berbeda maka hanya 4 angka yang dapat mengisi puluhan.

Angka satuan : Begitu juga dengan angka yang menempati angka satuan  kelima angka (3,5,6,7,9) semuanya dapat mengisi angka satuan, karena sesuai soal apabila 1 mengisi ratusan, 1 lagi mengisi puluhan maka ada 3 angka yang dapat mengisi puluhan.

Lebih jelas seperti pada tabel di bawah ini.

Ratusan	Puluhan	Satuan
1	4	3

Jadi banyaknya bilangan yang kurang dari 400 adalah: 1 x 4 x 3 = 12

B. Permutasi dan Kombinasi

a. Permutasi

Permutasi merupakan suatu unsur-unsur berbeda dalam urutan tertentu atau objek-objek yang memperhatikan letak/urutan

Ada beberapa macam permutasi, yaitu.

1. Permutasi r unsur dari n unsur 

Permutasi r unsur dari n unsur yang dinotasikan: P(n,r)

Rumusnya adalah :

Contoh

Untuk menjabat pengelola suatu perusahaan memerlukan 3 staf pengurus yaitu ketua, sekretaris, dan bendahara. Tersedia 7 calon. Banyaknya macam susunan staf pengurus yang mungkin adalah ....
a. 210
b. 105
c. 42
d. 35
e. 30

Penyelesaian

Soal di atas merupakan permutasi 3 unsur dari 7 unsur
Dengan demikian banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah

Jadi jawaban yang benar adalah a


2. Permutasi dengan berbagai unsur yang sama

Permutasi n unsur yang memiliki  unsur pertama yang sama,  unsur kedua yang sama,  unsur ketiga yang sama, . . . , dan  unsur ke-k yang sama, maka rumus permutasinya adalah:

dengan:

Contoh 

Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata "KALKULUS" adalah ....

a. 1.680
b. 5.040
c. 8.400
d. 10.080
e. 20.160

Penyelesaian:

Diketahui:

Dalam soal kata "KALKULUS" terdiri dari 8 huruf, jadi n =8
dari huruf "KALKULUS" huruf yang sama adalah: K ada 2, L ada 2, U ada 2, jadi didapatkan 

Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh ditentukan dengan rumus:

Jadi, banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh adalah 5.040

Sehingga jawaban yang benar adalah b


3. Permutasi Siklis

Permutasi siklis merupakan permutasi yang melingkar dari n unsur

Contoh

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengeliligi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda.

Penyelesaian:

Banyak cara adalah:






 Jadi banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja ada 120 cara.

b. Kombinasi

Kombinasi menyatakan banyaknya penyusunan objek-objek dengan tidak memperhatikan urutan (AB = BA).

Rumus mencari kombinasi, yaitu :  



Contoh Soal (Pengembangan Soal Proyek Perintis 1981)

Dalam ruangan terdapat 7 orang yang belum saling mengenal. Apabila ketujuh orang tersebut ingin berjabat tangan sekali dengan setiap orang, maka banyaknya jabatan tangan yang terjadi adalah ....

Jawab

Dalam berjabat tangan 
misalkan A berjabat tangan dengan B, maka B juga berjabat tangan dengan A

Maka soal ini AB = BA
Sehingga penyelesaiannya dapat diselesaikan dengan cara kombinasi

diketahui:

n = 7 (karena banyaknya ada 7 orang)
r = 2 (karena berjabat tangan membutuhkan 2 orang)

Penyelesaian

Masukkan rumus kombinasi, yaitu :

Jadi banyaknya jabatan yang terjadi sebanyak 21 kali

Sebelum melanjutkan pada pembahasan selanjutnya
marilah kita melakukan refresing terlebih dahulu

Berikut kami berikan beberapa tips atau saran, apabila ingin menguasai pelajaran matematika khususnya materi peluang.


Berdasarkan pengalaman saya selama belajar dan mengajar ada beberapa trik agar kita mudah dalam memahami materi peluang kelas 11, mungkin kalian semua mempunyai trik yang lebih ampuh dibandingkan trik yang saya miliki ini, trik ini saya dapatkan berdasarkan pengalaman saya selama ini, berikut trik yang dapat saya bagikan

Tips pertama,sama halnya dengan postingan saya yang lainnya bahwa ilmu matematika itu berkaitan satu sama lain, contohnya dalam menyelesaikan soal-soal peluang tentunya kita harus mengerti operasi hitung baik pecahan bulat, desimal, cacah dll.untuk itu saya sarankan apabila adik-adik sekalian belum paham mengenai operasi hitung dan ingin jago matematika tidak salah kalau adik-adik membuka kembali materi operasi hitung.

Tips kedua,apabila adik-adik merasa masih kesulitan dalam memahami konsep-konsep peluang ini saya sarankan adik-adik sekalian untuk banyak berlatih menyelesaikan soal-soal peluang, saya yakin konsep-konsep peluang yang ada akan dengan sendirinya adik-adik pahami.

Tips ketiga,apabila dirasa adik-adik masih kesulitan dalam memahami konsep-konsep dan dalam menyelesaikan soal-soal peluang ini,, coba adik-adik sekalia buka kembali materi peluang SMP dan adik-adik pahami konsep-konsep yang ada dengan banyak berlatih  soal-soal peluang SMP.

Tips keempat,apabila adik-adik sekalian masih kesulitan dengan trik pertama sampai trik ketiga coba adik-adik sekalian buka laman : Latihan Mental Bagaimana Jago Matematika

 B. Peluang Suatu Kejadian

Rumus mencari peluang suatu kejadian adalah:


Keterangan : 

P(A) = Peluang kejadian A

n (A) = Banyaknya anggota dalam kejadian A

n (S) = Banyaknya anggota ruang sampel


Contoh Soal Peluang Kejadian

(Soal Pengembangan UAN 2003)


Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang dilempar undi satu kali secara bersama-sama. Maka peluang munculnya angka pada mata uang dan angka 3 pada dadu adalah . . . .

Jawab

Untuk menjawab soal atau permasalahan seperti di atas
Lebih mudahnya dibuat sebuah tabel ruang sampel percobaan

Seperti pada gambar di bawah ini.

Angka /Dadu	1	2	3	4	5	6
A	(A, 1)	(A, 2)	(A, 3)	(A, 4)	(A, 5)	(A, 6)
G	(G, 1)	(G, 2)	(G, 3)	(G, 4)	(G, 5)	(G, 6)

Menurut tabel di atas jumlah 

n (S) = 12

n (A) = jumlah angka pada mata uang dan angka 3 adalah (A, 3) = 1

Sehingga:

C. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Jika A adalah kejadian yang terjadi pada ruang sampel (S) dengan peluang kejadian adalah P(A)

Maka rumus mencari frekuensi harapan adalah peluang kejadian P(A) dikalikan dengan banyaknya kejadian (n).

Contoh Soal Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu sebanyak 300 kali, frekuensi harapan munculnya angka 5 adalah . . . .

Jawab

Diketahui

n = 300

P(A) = 1/6 (n(A) dibagi n(S))

Sehingga:






F(A) = 50

D. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Komplemen dapat diartikan yang bukan

Misalkan:

A adalah suatu kejadian yang terjadi pada ruang sampel (S). 
Maka, komplemen A diartikan peluang kejadian bukan A

Peluang komplemen ditulis dengan A' (Aksen/Komplemen)

Apabila digambarkan peluang komplemen A seperti gambar diagram Venn berikut:

Pada diagram Venn  di atas jelas bahwa:

Dengan membagi semua ruas dengan n(S) diperoleh:

Jadi rumus mencari peluang komplemen adalah :

Contoh Soal

Peluang Andi diterima menjadi Pegawai Negeri Sipil adalah 0,87. Peluang Andi tidak diterima Pegawai Negeri Sipil adalah ....

Jawab

Misalkan

A = Kejadian Andi diterima PNS

P(A) = 0,87

A' = Kejadian Andi tidak diterima PNS

P(A') = 1 - P(A) 

  

          = 1 - 0,87

         = 0,13

Jadi peluang Andi tidak diterima PNS adalah 0,13

E. Peluang Kejadian Majemuk

Ada 4 macam peluang kejadian majemuk, yaitu:

1. Peluang kejadian saling lepas

2. Peluang kejadian tidak saling lepas

3. Peluang kejadian saling bebas

4. Peluang kejadian bersyarat

Adapun pembahasannya keempat macam di atas adalah sebagai berikut:

1. Peluang kejadian saling lepas

Dua kejadian dalam hal ini misalkan A dan B dikatakan saling lepas jika kejadian A dan kejadian B tidak saling bersama-sama. 

Selain itu kedua kejadian ini saling lepas sebab kedua kejadian ini tidak memiliki irisan

Apabila digambarkan dalam diagram Venn sebagai berikut:

Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas

Maka rumus peluang kejadian A atau B adalah:

Contoh 

Dua buah dadu dilemparkan secara bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 6 atau 8 adalah . . . .

Jawab

Untuk mempermudah menjawab soal di atas

marilah dibuat tabel pelemparan dua buah dadu.

Seperti pada gambar di bawah ini.

Dadu 1/Dadu2	1	2	3	4	5	6
1	(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)	(1, 5)	(1, 6)
2	(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)	(2, 5)	(2, 6)
3	(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)	(3, 5)	(3, 6)
4	(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)	(4, 5)	(4, 6)
5	(5, 1)	(5, 2)	(5, 3)	(5, 4)	(5, 5)	(5, 6)
6	(6, 1)	(6, 2)	(6, 3)	(6, 4)	(6, 5)	(6, 6)

Dari tabel di atas bahwa:

n(S) = 36

dan munculnya jumlah mata dadu 6 dan jumlah mata dadu 8 tidak terjadi secara bersamaan

Sehingga, permasalahan ini dikatakan saling lepas.

Misalkan 

A = Kejadian munculnya mata dadu yang berjumlah 6

B = Kejadian munculnya mata dadu yang berjumlah 8

Jadi 

n (A) = 5

n (B) = 5

Selanjutnya masukkan rumus:

2. Peluang kejadian tidak saling lepas

Peluang kejadian tidak saling lepas merupakan dua buah kejadian, misalkan kejadian A dan kejadian B dapat terjadi secara bersama-sama.

Sehingga antar kejadian A dan kejadian B terdapat irisannya.

Apabila digambarkan dalam diagram Venn sebagai berikut:

Untuk rumus peluang kejadian tidak saling lepas, yaitu: 

Contoh

Satu buah set kartu bridge (remi) dikocok secara acak. Hasil dari pengocokan itu akan diambil sebuah kartu. Peluang terambilnya kartu skop atau angka 10 adalah . . . .

Jawab

n(S) = 52 (1 set kartu bridge)

Misalkan 

A = kejadian terambilnya kartu sekop 
B = kejadian terambilnya kartu angka 10

Maka:

n(A) = 13
n(B) = 4

Kartu sekop dan kartu angka 10 dapat terjadi pengambilan secara bersama-sama jika terambil kartu angka 10 sekop.

Sehingga A dan B merupakan suatu kejadian tidak saling lepas.

dengan :

 = 1

Rumus untuk mencari peluang kejadian A atau B adalah











3. Kejadian Saling Bebas

Dua buah kejadian yang terjadi secara berurutan dan tidak saling mempengaruhi peluang kejadian dinamakan kejadian saling bebas.

Misalkan A dan B merupakan peluang kejadian saling bebas.
Maka rumus untuk mencari banyaknya peluang kejadian A dan B adalah:

4. Peluang Kejadian Bersyarat

Dua buah kejadian yang terjadi secara berurutan dan saling mempengaruhi peluang kejadian dinamakan kejadian bersyarat atau tidak saling bebas

Misalkan A dan B merupakan peluang kejadian tidak saling bebas.

Maka rumus untuk mencari banyaknya peluang kejadian A dan B adalah:

5. Hukum De Morgan

Selain dalam himpunan Hukum De Morgan juga berlaku dalam peluang.

Rumus Hukum De Morgan dalam peluang, yaitu:

Tweet

Subscribe to receive free email updates: